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Show that the product of two orthogonal matrices is orthogonal. | Numerade

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Orthogonal Matrices - Examples with Solutions

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2020年12月31日

analyzemath.com

9. Consider the orthogonal group O(n) consisting of all n × n orthogonal matrices, i.e., n × n matrices whose columns form an orthonormal basis v1, …, vn for ℝ^n. Weput a topology on O(n) by regarding it as a subspace of ℝ^n^2, taking the n^2 entriesof a matrix in O(n) as the n^2 coordinates of a point in ℝ^n^2. (a) Show that O(n)is a closed subset of ℝ^n^2 by considering the dot products vi · vj of the columns ofmatrices in O(n) as functions ℝ^n^2→ℝ. (b) Show that O(n) is compact.

9. Consider the orthogonal group O(n) consisting of all n × n orthogonal matrices, i.e., n × n matrices whose columns form an orthonormal basis v1, …, vn for ℝ^n. Weput a topology on O(n) by regarding it as a subspace of ℝ^n^2, taking the n^2 entriesof a matrix in O(n) as the n^2 coordinates of a point in ℝ^n^2. (a) Show that O(n)is a closed subset of ℝ^n^2 by considering the dot products vi · vj of the columns ofmatrices in O(n) as functions ℝ^n^2→ℝ. (b) Show that O(n) is compact.

2021年10月22日

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